هندسه اقلیدسی

دومین شاخه ی ریاضیات که در آن تحولات قرن نوزدهم تاثیر زیادی بر کار علمی آتی داشت هندسه بود ، زیرا در این قرن دو نظام هندسی کاملا تازه مطرح شد .این نظامات ناشی از شکست دو قضیه ی هندسه ی اقلیدسی بود . طرح کلی هندسه ی اقلیدسی بسی استادانه و یادواره ی با شکوه منطق انسان بود . این هندسه بیش از دو هزار سال بلامنازع حکم رانده و تا قرن نوزدهم ، کم کم مترادف با جنبه ای از معنی ی حقیقت شده بود . اما دو قضیه وجود داشت که با هیچ استدلال منطقی قابل اثبات نبود . یکی به این مفهوم بود که پاره خط را می توان از دو طرف تا بی نهایت امتداد داد . دیگری این مفهوم داشت که دو خط موازی ، تا هر جا امتداد یابند ، یکدیگر را قطع نمی کنند . گر چه هر دو بدیهی به نظر می رسند ، اما نه اقلیدس و نه هندسه دانان بعد از او هیچ یک نتوانستند آنها را رسما اثبات کنند . اقلیدس خود همیشه در مورد این دو قضیه احتیاط می کرد و سعی داشت تا آن جا که می تواند از فرض خطوط موازی استفاده نکند .