X
تبلیغات
رایتل
ریاضیات برای همه
دوستان
آخرین مطالب
امکانات جانبی
 

بی‌نهایت واقعا ذهن انسان را به چالش می‌کشاند. اولین ریاضیدانی که با آن دست و پنجه نرم کرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور بود که پس از اندیشیدن بسیار طولانی مدت در مورد این پدیده ریاضی، سرانجام در سال 1918 در یک بیمارستان روانی از دنیا رفت. اما پیش از آنکه ذهن کانتور دچار فروپاشی شود، او توانسته بود کشفیات حیرت انگیزی را در خصوص بی‌نهایت انجام دهد. اولین کشف این بود که تعداد زیادی بی‌نهایت وجود دارد. در واقع، تعداد بی پایانی بی‌نهایت وجود دارد که کانتور هر یک از آنها را یک عدد "ترانهایت" نام نهاده بود.

بی‌نهایت واقعا ذهن انسان را به چالش می‌کشاند. اولین ریاضیدانی که با آن دست و پنجه نرم کرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور بود که پس از اندیشیدن بسیار طولانی مدت در مورد این پدیده ریاضی، سرانجام در سال 1918 در یک بیمارستان روانی از دنیا رفت. اما پیش از آنکه ذهن کانتور دچار فروپاشی شود، او توانسته بود کشفیات حیرت انگیزی را در خصوص بی‌نهایت انجام دهد. اولین کشف این بود که تعداد زیادی بی‌نهایت وجود دارد. در واقع، تعداد بی پایانی بی‌نهایت وجود دارد که کانتور هر یک از آنها را یک عدد "ترانهایت" نام نهاده بود.


اولین بی‌نهایت

اولین و به عبارتی "کوچکترین" بی‌نهایت، بی‌نهایتی است که اغلب ما آن را "بی‌نهایت" تصور می‌کنیم. این بی‌نهایتی است که با شمردن اعداد به سمت بالا و هرگز باز نایستادن به دست می‌آید: صفر، 1،2،3و... و این کار برای همیشه ادامه می‌یابد. کانتور این بی‌نهایت را "الف-صفر" نامید که بخش اول نام آن از اولین حرف الفبای عبری گرفته شده است. تردید نیست که این بی‌نهایت دارای خواصی بسیار عجیب است.
به عنوان مثال، افزودن عدد یک به الف- صفر، یا دو برابر کردن و یا به توان دو رساندن آن، هیچ تاثیری در مقدار آن ندارد و پاسخ همچنان الف- صفر خواهد بود. دلیل این امر آن است وقتی شما با چیزی بی‌نهایت بزرگ سر و کار دارید، هیچ کاری مقدار آن تغییر دهد نمی‌توانید انجام دهید.

اگر با این پاسخ متقاعد نشده‌اید، روی یک ورق کاغذ دو دایره بکشید که قطر یکی دو برابر دیگری باشد. به بیان ریاضی، هر دایره از تعداد بی پایانی نقطه تشکیل شده است (زیرا نقطه‌های کوچک کوچکتر می‌شوند)، و محیط دایره برابر با عدد پی ضرب در اندازه قطر آن است. بنابراین محیط دایره بزرگتر دو برابر محیط دایره کوچکتری است که ترسیم کرده‌اند، در حالی که بنابر تعریف، هر دو دایره شامل تعداد بی‌نهایت نقطه‌اند. به عبارت دیگر، دو برابر بی‌نهایت هنوز هم بی‌نهایت است، و حتی بی‌نهایت برابر بی‌نهایت باز همان بی‌نهایت خواهد ماند.

هتل هیلبرت

نزدیک به آغاز قرن بیستم، یک ریاضیدان آلمانی دیگر به نام دیوید هیلبرت این واقعیت غیر عاید را به صورتی به تصویر کشید که تنها با بی‌نهایت امکان این کار وجود دارد. ریاضیدانان هم اکنون مفهوم "هتل هیلبرت" را به کار می‌برند، مهمانخانه‌ای که تعداد اتاقهای آن برابر الف- صفر است و بنابراین هرگز اتاق خالی کم نمی‌آورد. حتی اگر تمام اتاقهای هتل هیلبرت را کرده باشند، صاحب هتل هنوز هم می‌تواند برای چند مسافر تازه‌ای که از راه رسیده‌اند اتاقث خالی پیدا کند، زیرا بی‌نهایت به اضافه کمی بیشتر هنوز هم بی‌نهایت است که برابر است با تعداد اتاقهای موجود در مهمانخانه. در حقیقت، حتی اگر با وجود پر بودن تمام اتاقهای مهمانخانه باز هم ناگهان سروکله بی‌نهایت مسافر دیگر پیدا شود، هر یک از آنها می‌توانند برای گذراندن شب خود یک اتاق خالی پیدا کنند، چون بی‌نهایت به علاوه بی‌نهایت باز هم بی‌نهایت است.

بی‌نهایت مطلق

کانتور بی‌نهایت‌های دیگری با خواصی بسیار عجیب تر را نیز یافته بود. "الف- یک" عددی آنچنان بزرگ است که هرگز نمی‌توان به آن رسید، حتی ار شما تا ابد به شمردن ادامه دهید. پس از آن، تعداد بی‌نهایتی از الف‌ها و سار بی‌نهایت‌ها وجود دارند که سرانجام به بی‌نهایتی می‌رسند که همه بی‌نهایت‌های دیگر را زیر چتر خود دارد. کانتور آن را "بی‌نهایت مطلق" نامیده بود. این بی‌نهایت چنان وسیع و بی کران است که اصلا نمی‌توان آن را توصیف کرد. در واقع، تعریف آن بر این اندیشه استوار است که هر تلاشی برای توصیف آن، همواره به توصیف چیزی کوچکتر می‌انجامد.

آخرین یافته‌ها در مورد بی‌نهایت

حدود یک قرن طول کشیده است تا ریاضیدانان روشهایی را برای سر و کله زدن با بی‌نهایت بیابند که در میانه راه آنها را به دیوانگی نکشاند. در اوایل دهه 1970، ریاضیدانان انگلیسی جان کانوی که هم اکنون در دانشگاه پرینستون حضور دارد، گونه جدیدی از اعداد را موسوم به "اعداد فراواقعی" کشف کرد که علاوه بر تمامی اعداد معمول، اعداد موسوم به ترانهایت و بسیاری از اعداد یر عادی دیگر را نیز شامل می‌شود. در نتیجه این کشف، ریاضیدانان هم اکنون می‌توانند به عنوان مثال، ریشه دوم بی‌نهایت را محاسبه کنند و یا لگاریتم آن را به دست آورند. بدون اینکه به پاسخهایی کاملا بی‌معنا دست یابند.

حتی با این وجود نیز اغلب ریاضیدانان مایلند کاری به کار بی‌نهایت نداشته باشند. بی‌نهایت یک مشکل آفرین واقعی است، که می‌تواند پرسشهای معقول را به پاسخهایی کاملا بی ربط و غیر عادی 0 همچون 1=0 تبدیل کند. اما دانشمندانی که در ماهیت بنیادی عالم کند و کاو می‌کنند، در محاسبات خود مرتب به بی‌نهایت برخورد می‌کنند. معمولا در چنین مواقعی آنها باید تسلیم بی‌نهایت شوند، و یا اینکه برای بیرون راندن بی‌نهایت مزاحم از نتیجه محاسبات خود عذری بتراشند که در نهایت کار جالبی نیست. اما ریاضیدانان برجسته‌ای همچون کانوی و
مارتین کروسکال از دانشگاه را تجرز در نیوجرسی، امیدوارند که روزی اعداد فراواقعی برجستنه‌ای همچون کانوی و مارتین کروسکال از دانشگاه را تجرز در نیوجرسی، امیدوارند که روزی اعداد فراواقعی دانشمندان را در برخورد با این مسائل مربوط به بی‌نهایت یاری دهند، و به آنها امکان دهند تا پاسخهایی واقعی را برای معماهای عالم بیابند، البته به شرط آنکه کلانجار رفتن با این مسائل آنها را دیوانه نکرده باشد.


ن : محسن تورنگ
ت : دوشنبه 12 مهر‌ماه سال 1389
 
موضوعات
آرشیو مطالب
امکانات جانبی