اعداد اول و رمزگشایی

مقدمه
به اعدادی اعداد اول می‌گویند که جزو اعداد طبیعی بوده و فقط باقیمانده تقسیم آنها به خودشان و عدد ۱ برابر صفر شود. تنها استثنای این اعداد عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی گیرد.اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است. اعداد اول بزرگتر از ۱۰ وعدد یکانشان فقط اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ می‌تواند باشد.
این اعداد جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

شناخت اعداد اول
اعداد اول یکی از اساسی ترین چیز ها در ریاضیات هستند. آنها پس از قرن ها مطالعه هنوز دارای رموز بسیاری اند. ساختار مجموعه اعداد اول هنوز به درستی شناخته شده نیست. توضیح چگونگی توزیع آنها در قلب ریاضیات قرار دارد و نقش های مهمی برای مثال در زمینه رمز گشایی دارند. برای مطالعه در مورد اعداد اول محققین چیزی که به نام لنز ریاضیاتی معروف است را توسعه داده اند که به آنها اجازه می دهد تا در منظره های خاصی از اعداد اول فوکوس کنند.
به تازگی دو ریاضیدان به نام های جان فریدلندر از دانشگاه تورونتو و هنریک ایوانیچ از دانشگاه روتگرز نیوجرسی دنیای ریاضیات را با خبر ساختن لنز جدیدی برای پالودن هرچه بیشتر اعداد اول متحیر ساختند. کار آنها مخصوصا از این لحاظ شگفت انگیز است که مسئله مهمی در ریاضیات که پیشرفتی در آن در صد سال اخیر رخ نداده را حل می کند.
اهمیت کار فریدلندر و ایوانیچ را در تاریخچه آن می توان دید. اقلیدس اولین کسی بود که نشان داد بینهایت عدد اول در بین اعداد صحیح وجود دارد. مدت ها بعد در سال 1837 گوستاو لجن دیریکله نشان داد که اگر aو dنسبت به هم اول باشند در تصاعد حسابی a, a+d, a+2d, a+3d,…بی نهایت عدد اول وجود دارد.
با توجه به کارهای دیریکله دو سؤال به ذهن می رسد:
"در چه دنباله های دیگری از اعداد می توان بی نهایت عدد اول یافت؟"
کسی می تواند چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در این دنباله ها را تعیین کند؟"

تکنیک هایی که در دهه 1890 اختراع شد به ریاضیدانان اجازه می داد تا تقریب خوبی در مورد چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در اعداد صحیح و همچنین دنباله هایی که دیریکله بررسی نمود بدست آورند.این تکنیک ها را می توان تغییر داد تا نشان دهیم که بی نهایت عدد اول در هر نوع دنباله ای از اعداد وجود دارد برای مثال در دنباله اعداد به فرم a2+21b2 و دنباله های مشابه. ولی به هرحال همه دنباله هایی که به این روش ها بررسی می شد یک خاصیت مشترک داشتند آنها تنک نبوده و شامل تعداد بسیار زیادی عدد غیر اول بودند بنابر این به عنوان لنز نمی توانستند فوکوس خیلی دقیقی را فراهم کنند.
در صد سال گذشته پیشرفت قابل توجهی در این رابطه رخ نداد. کسی نتوانست دنباله تنکی از اعداد را معرفی کند و ثابت کند که شامل بی نهایت عدد اول است.
مطالب ذکر شده دلیل شگفت آور بودن این کار جدید است. کاری که فریدلندر و ایوانیچ انجام دادند این بود که ثابت نمودند بی نهایت عدد اول در دنباله اعداد به فرم a2+b4 وجود دارد. این مجموعه از اعداد بسیار تنک تر از مجموعه هایی است که تا کنون ثابت شده شامل بی نهایت عدد اول اند. برای مثال در اعداد بین 1 تا 1012 تقریبا 27 میلیارد عدد متفاوت به فرم a2+b2 وجود دارد ولی کمتر از یک میلیارد عدد به فرم a2+b4 در بین این اعداد است. علاوه بر این فریدلندر و ایوانیچ می توانند به طور دقیق چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول را در دنباله شان تعیین کنند.
موفقیت آنها به تازگی در" اقدامات آکادمی ملی علوم" منتشر شده است و حیرت متخصصین دیگر که تصور می کردند این پیشرفت بسیاردور از دسترس است را برانگیخته. شرح کامل دست آورد آنها برای چاپ در معتبرترین مجلات ریاضی پذیرفته شده است.
یافتن اعداد اول بزرگ و کاربرد آنها در رمزها
در سال ‪۲۰۰۱دو تن از دانشجویان او یعنی کایال و سکسنا به یک نکته بسیار حساس و فنی توجه کردند. ابتدا این مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهای عمیق نظریه اعداد غوطه ور شوند، اما اندک اندک برایشان روشن شد که تنها یک مانع در راه تکمیل روشی جهت آزمودن دقیق و سریع اعداد اول وجود دارد. مانع از این قرار بود که روش آنان تنها در صورتی کار می‌کرد که عدد اول مورد نظر که با ‪pنمایش داده می‌شود همواره در محدوده خاصی جای داشته باشد که با اعدادی که در آزمون شرکت داده می‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ویژه این مانع آن است که عدد " ‪p-1 " باید یک مقسوم علیه یا بخشیاب بسیار بزرگ باشد. گروه سه نفر ریاضی دانان هندی برای غلبه بر مشکل به هر دری زدند و با بررسی مقالات مختلف بالاخره دریافتند که در سال ‪۱۹۸۵یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام اتن فووری از دانشگاه پاریس این نکته را به صورت ریاضی اثبات کرده است. به این ترتیب آخرین بخش معما حل شد و آلگوریتم پیشنهادی این سه نفر با موفقیت پا به عرصه گذارد. اما این موفقیت "مشروط" بود. به این معنی که این روش برای اعداد اولی که انسان در حال حاضر می‌توان به سراغ آنها برود از کارآیی چندانی برخوردار نیست. در روایت اولیه روش پیشنهادی، زمان لازم برای محاسبات که متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪۱۰۱۲ازدیاد پیدا می کرد. در روایتهای بهبود یافته اخیر این روش، سرعت ازدیاد زمان لازم برای محاسبات به ‪۱۰۷.۵کاهش یافته اما حتی در این حالت نیز این روش در مقایسه با روش آ پی آر تنها در هنگامی موثر تر خواهد بود که تعداد ارقام عدد اولی که قصد شکار و یافتن آن را داریم در حدود ‪۱۰۱۰۰۰باشد. اعدادی تا این اندازه بزرگ در حافظه هیچ کامپیوتر جای نمی‌گیرند و حتی آن را نمی‌توان در کل کیهان جای داد. اما حال که ریاضی دانان توانسته‌اند یک طبقه خاص از آلگوریتمهای توانی را برای شناسایی اعداد اول مشخص کنند، این امکان پدید آمده که به دنبال نمونه‌های بهتر این روش بگردند. پومرانس و هندریک لنسترا از دانشگاه کالیفرنیا در برکلی با تلاش در همین زمینه توانسته‌اند زمان لازم برای محاسبات را از توان ‪۷.۵به توان ‪۶کاهش دهند. این دو از همان استراتژی کلی گروه هندی موسسه کانپور استفاده کردند اما تاکتیهای دیگری را به کار گرفتند. اگر فرضیه‌های دیگری که درباره اعداد اول مطرح شده درست از کار درآید آنگاه می‌توان زمان محاسبه را از توان ‪۶به توان ‪۳تقلیل داد که در این حد این روش کارآیی عملی پیدا خواهد کرد. در این حالت یافتن اعداد اول با ‪۱۰۰۰رقم یا بیشتر به بازی کودکان بدل خواهد شد. اما در نظر ریاضی‌دانان مهمترین و جالبترین جنبه کار گروه سه نفره آ ک اس (کانپ.ر) روشی است که آنان به کار گرفته‌اند. اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادین برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ویژگیهای آنها باعث می‌شود خللهای بزرگ در بنای ریاضیات پدیدار شود. روش این سه ریاضی دان هندی هرچند این خللها و نقصها را پر نکرده حداقل به ریاضی دانان گفته است که در کجا به دنبال این خللها بگردند. آلگوریتم پیشنهادی این سه محقق و همه انواع بدیلی که بر اساس آن ساخته شده متکی به وجود اعداد اولی با مشخصه های ویژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از این روش مستلزم آن است که ریاضی دانان اطلاعات دقیقی از نحوه توزیع این قبیل اعداد اول خاص در میان دیگر اعداد به دست آورند و به این ترتیب جغرافیای مکانی اعداد اول را مشخص سازند. روش پیشنهادی آ ک اس به ریاضی دانان این نکته را آموخته که ویژگیهای این جغرافیای مکانی حائز اهمیت است و نیز این که هنوز دانش کافی در این زمینه به دست نیامده است. در گذشته و در زمانی که نظریه اعداد تنها مورد توجه یک گروه کوچک از ریاضی دانان بود ، این مساله چندان اهمیتی نداشت. اما در ‪۲۰سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنایی در عرصه رمز نگاری و دانش طراحی و شکستن رمزها کسب کرده اند. رمزها صرفا از نظر نظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند بلکه از آنها در عرصه های تجاری و نیز فعالییتهای اینترنتی در مقیاس وسیع استفاده به عمل می‌آید. هیچ کس نمی‌خواهد که راهزنان اینترنتی به اطلاعات شخصی مربوط به حسابهای بانکی یا شماره کارتهای اعتباری آنان دست یابد. هم اکنون دزدی مشخصات شناسنامه ای افراد و جعل هویت آنان به صورت یکی از بزرگترین قلمروهای فعالییتهای تبهکارانه در سطح بین‌المللی در آمده است. سازندگان کامپیوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به آنکه در حال حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند، نظیر اینکه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می‌پردازند یا در کلاسهای مورد نظر ثبت نام می‌کنند، یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می‌کنند، در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهکاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل اورند. یکی از مهمترین سیستمهایی که در این زمینه مورد استفاده صنایع است سیستم آر اس آ نام دارد که متکی به اعداد اول است. اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود ‪۱۰۰رقمی هستند. سیستم آر اس آ در بسیاری از سیستمهای کامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتکل اصلی برای ارتباطات امن اینرتنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها، شرکتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می‌کنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از ‪۷۰۰شرکت صادر شده و بیش از نیم میلیون کپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد. برای شکستن رمز آر اس آ باید مضراب اعداد ‪۲۰۰رقمی یا بزرگتر را پیدا کنید. هرچند فاکتور گیری یا عامل مشترک گیری از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما این دو مساله با یکدیگر ارتباط دارند و ریاضی دانان از یک ابزار برای حل هر دو مساله استفاده می‌کنند. همه این جنبه‌ها بر اهمیت کشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می‌افزاید. در سال ‪۱۹۹۵زمانی که پیتر شور از آزمایشگاههای بل اثبات کرد که مجموعه- ای از آلگوریتمهای توانی برای فاکتور گیری وجود دارد، لرزه بر اندام بسیاری افتاد. اما خوشبختانه برای استفاده از این آلگوریتم به کامپیوترهای کوانتومی نیاز است که هنوز در مرحله تکمیل تئوریک قرار دارند. اکنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سیستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اکنون این نکته را نشان داده که می‌توان با کامپیوتر های معمولی، اعداد را از حیث اول بودن مورد آزمایش قرار داد. سوالی که اینک مطرح شده آن است که آیا الگوریتم مشابهی که به صورت توانی کار کند برای فاکتورگیری اعداد غیراول نیز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به این پرسش منفی است اما متاسفانه این متخصصان همین حرف را در مورد آلگوریتم توانی مربوط به اعداد اول نیز می‌زدند در حال حاضر ریاضی دانان واقعا مطمئن نیستند که که آیا چنین آلگوریتمی یافت می‌شود یا نه. اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سیستم آر اس آ دیگر از امنیت برخوردار نیست. یک عامل تخفیف‌دهنده نگرانیها آن است که از سیستم آر اس آ برای انتقال همه محتوای پیامها استفاده نمی‌شود بلکه صرفا "کلید های رمز" را که اندازه شان کوچک است با این سیستم انتقال می‌دهند. برای انتقال بقیه پیام از روشهای رمزنگاری متعارف بهره گرفته می‌شود. به این ترتیب جاسوسان در صدد برخواهند آمد که به کلید رمزها دست یابند. به این ترتیب درسی که از موفقیت گروه سه نفره هندی گرفته می‌شود آن است که باید با احتیاط در ارسال پیامها عمل کرد. اگر اکتشافات مشابه آنچه گروه کانپور بدست اورده تکرار شود، انگاه دیگر نمی‌توان به ایمن بودن ارتباطاتی که روی اینترنت برقرار می‌شود اطمینان داشت