یکی از دغدغههای همیشگی دانش آموزان، یادگیری ریاضیات است. تقریباً این جمله عمومی که «من ریاضی یاد نمیگیرم» را همهی ما به وفور شنیده ایم. همین تفکر غلط، که ناشی از عدم به کارگیری شیوههای صحیح یادگیری ریاضیات است، موجب شده تا علاوه بر کاهش اعتماد به نفس، یادگیرندگان به سوی «شیوههای غلطی همچون حفظ کردن، تلاش بیحاصل در حل انبوهی از تست ها، شرکت در کلاس های متعدد و تکراری و نتیجه آن، از دستدادن زمان و ...» سوق داده شوند.
درحالی که، حل مشکل در درجه اول مستلزم شناسایی ریشههای آن و سپس به کارگیری راهکارهای اثربخش و کارآمد برای حل آن می باشد و نه سحطی نگری و پاک کردن صورت مسأله. با نگاهی گذرا به عرصه تلاش های دانش آموزان در راه کامیابی و موفقیت های تحصیلی، روشن می شود که بسیاری از آنها مثال بازیکن فوتبالی هستند که بی هدف و بدون برنامه، به دویدن بی حد و بازده پرداخته و در آخر، درحالی که از خستگی، توان نفس کشیدن هم ندارد به آنها گفته می شود که شکست سنگینی را متحمل شدهاند.
جملات بالا شاید گرد یأس و ناامیدی بر افق شما پاشیده باشد، اما خبر خوب این است که یادگیری ریاضیات، چنانچه به طور صحیح به آن پرداخته شود؛ نه تنها ممکن است بلکه خیلی هم آسان، قابل دستیابی است. در ادامه این مقاله به بسط فرآیندی می پردازیم که می تواند به عنوان راهکاری برای یادگیری اثربخش ریاضیات و به خصوص حساب دیفرانسیل و انتگرال به کار گرفته شود. قبل از آن لازم است تا برخی مطالب را از نظر بگذرانید.
یادگیری ریاضیات به منزله فرآیندی پویا
به طور کلی، یادگیری یک فرآیند است. یعنی شامل گامها و مراحل مختلفی است که با هم رابطه علت و معلولی دارند و آغاز یک مرحله، مستلزم پایان مرحله قبل است. به عبارت دیگر، خروجیهای مرحله قبل، ورودیهای مرحله بعد می باشد. این اولین نکتهای است که باید به آن توجه کنید. اشکال بسیاری افراد در یادگیری ریاضیات این است که به بهانه هایی مانند کمبود زمان، مراحل را تکمیل نمیکنند و نتیجه طبیعی آن عدم یادگیری کامل است.
از طرف دیگر یادگیری ریاضیات، پویا است. یعنی در فرآیند، بازخوردهای گوناگونی بین مراحلی که با هم فاصله دارند، وجود دارد و این دومین درس مهم است. یعنی پایان یک مرحله، به معنای پایان همیشگی و بایگانی کردن آن در پستوهای ذهن شما نیست.
فرآیند یادگیری حساب دیفرانسیل و انتگرال
با آنچه به طور خلاصه در بخش های قبل گفته شد، اکنون به شرح فرآیندی که منحصراً جهت یادگیری این درس برای موفقیت در کنکور، براساس مطالعات گسترده ادبیات علمی و به کارگیری تجربیات موسع حاصل شده است، می پردازیم. نمودار بلوک دیاگرامی این فرآیند را می توانید در شکل 1 ملاحظه کنید.
مرحله اول: یادگیری مفاهیم
در این مرحله، دانش آموز مفهوم پایه ای مورد بحث را می آموزد. مثلاً یاد می گیرد که مشتق چیست، چه معنایی می دهد و چگونه تعریف می شود.
گام 1- توجه کامل در درس: از پراکندگی ذهنی خودداری کنید و تلاش کنید تمام تمرکزتان را به توضیحات و نه صدای معلم جلب کنید. با خودتان فرض کنید که این آخرین فرصت برای فهم مطلب است. گرچه، اینگونه نیست. خودتان را در جریان سیال کلاس قرار دهید و حتما سؤالهای پیش آمده را مطرح کنید. تلاش کنید مثالهای مطرح شده در کلاس را خودتان حل کنید و از حل غلط نترسید.
گام 2- مطالعه کتاب درسی و جزوه: عبارات موجود در کتاب درسی و جزوه را با دقت مطالعه کنید. برای خودتان توضیح دهید و مثالها را قبل از دیدن راهحل، حل کرده و سپس با راهحل موجود، مقایسه دقیق کنید.
گام 3- حل مسائل پایه ای: مسائل کتاب درسی و سؤالات تشریحی دیگر را از منابع معتبر حل و تحلیل کنید و راه حلهای خود را حتماً تصحیح کنید.
مرحله دوم: تثبیت مفاهیم
در این مرحله، باید تلاش کرد تا مفاهیم در ذهن ماندگار شده و قابلیت تبدیل به راهحل پیدا کند.
گام 1- تفکر روی مفاهیم: این گام از اهمیت ویژهای برخوردار است. تلاش کنید تا مفاهیم را مانند یک معلم برای خود و دوستانتان روی کاغذ توضیح دهید و در وقت های آزاد خود با تصویرسازی ذهنی، مفاهیم را در ذهن خود مرور و تصویر کنید.
گام 2- حل مسائل تشریحی دشوار: با استفاده از کتابهای تکمیلی با منابع مربوط به معلمتان، مسائل تشریحی دشوارتری را یافته و حل کنید. مباحثات گروهی با دوستانتان، روی این مسائل بسیار مفید است.
مرحله سوم: توسعه تسلط و خلاقیت
در این مرحله، دانش آموز باید با افزایش تسلط خود را روی روش های حل مسأله که حاصل تثبیت مفاهیم است، بتواند به توسعه روشهای خلاقانه حل مسأله که محور ریاضیات است، دست یابد.
گام 1- حل تستهای تألیفی بدون زمان: بدون حساسیت به زمان و مانند سؤالات تشریحی و با توجه به موضوع و استفاده از منابع مختلف، به سؤالات تستی پاسخ دهید.
گام 2- توجه به راه حلهای مختلف برای حل سؤال: در صورت متفاوت بودن راهحل پاسخنامه با راهحل شما، حتماً آن راه را نیز به طور دقیق بررسی کنید و خودتان نیز سعی کنید راهحلهای بدیعی ارائه دهید.
گام 3- خواب روی مسأله: اگر نتوانستید راه حل مسأله ای را پیدا کنید یا آن را متوجه شوید، ذهن خود را روی مسأله قفل کنید و به دنبال راه حل بگردید، هر چند زمانبر باشد. اینکار را در حالی که دراز کشیدهاید، بیرون هستید یا جایی لم دادهاید، انجام دهید.
مرحله چهارم: توسعه سرعت
در این مرحله، باید سرعت رسیدن به جواب را افزایش داد. البته بسیار مهم است که این مسأله را فدای دقت نکنید.
گام 1- اصلاح شیوه نگارش حل مسأله: لازم نیست که برای حل تست ها، راهحلها را مبسوط و آراسته با ذکر تمام جزئیات بنویسید. تا می توانید مختصر بنویسید و مراحلی را که می توانید بدون ریسک انجام دهید، روی کاغذ نیاورید.
گام 2- برقراری توازن بین سرعت و دقت: به هیچ وجه دقت را فدای سرعت نکنید. زدن 10 تست درست، خیلی بهتر است از زدن 20 تست که 9 تای آن به علت بیدقتی غلط از آب در بیاید. چون انگار 7 تست درست زده اید.
گام 3- زدن تستهای زماندار: بستههایی شامل 25 تست انتخاب و در مدت معینی به آنها پاسخ داده و در پایان تصحیح و درصدگیری کنید. پس از ثبت درصد، برای مقایسههای بعدی در جایی مطمئن، راهحلهای خود را با پاسخنامه مقایسه و تحلیل جامعی انجام دهید. در قسمت هایی که مشکل دارید، به بازخورد نشان داده شده در شکل توجه کنید.
برای مدیریت زمان، برای بستههای 25 تایی از 50 دقیقه شروع و به 35 دقیقه کاهش دهید.
تذکر مهم: فرآیند تشریح شده، برای هر مبحثی باید اجرا شود. پس از اتمام آن، حتماً باید در فاصله های 15 روزه «که به مباحث دیگری رسیدهاید» حداقل یک بسته 15 تستی را پاسخ دهید و نکات اصلی را مرور مختصری کنید.
1
دو راه پایهای و اساسی برای اینکه
مغزتان را سالم و سرحال نگه دارید وجود دارد: تنوع و کنجکاوی. وقتی هر کاری
که انجام میدهید از روی عادتتان است و زندگی بر یک روال میگذرد، بدانید
که وقت تغییر است.
اگر هر شب پیش از خواب
جدول حل میکنید و این عادتتان شده است، وقتش است که تفریح وقت خوابتان را
عوض کنید و ورزش دیگری برای مغزتان بیابید. در مورد دنیای دور و برتان
کنجکاو باشید و به جستجوی این بروید که بفهمید هر چیزی چگونه کار میکند.
این
تلاش برای فهمیدن بیشتر به مغزتان کمک میکند که سریعتر و تاثیرگذارتر
عمل کند. 10 کلک ساده هم ما به شما پیشنهاد میدهیم تا با به کارگیری آنها
کمی ورزش کنید:
1 - کتاب بخوانید:
یک کتاب انتخاب کنید. کتابی با موضوعی کاملاً جدید. موضوعی که تاکنون در مورد آن اطلاعی نداشتید. هر هفته در یک موضوع جدید کارشناس و خبره شوید. با این کار نه تنها ورزش میکنید، بلکه به این همه ناشر و نویسنده ایرانی هم که بازاری برای فروش کتابهایشان پیدا نمیکنند کمک میکنید.
2- بازی کنید:
بازی راه بسیار خوبی برای مغز شماست که مهارتهایش را به امتحان بگذارد. سودوکو (جدول اعداد)، جدول کلمات، مکعبهای روبیک و بازیهای الکترونیکی که این روزها در موبایلها به وفور یافت میشوند، میتوانند به بالا رفتن مهارتهای مغز شما و تقویت حافظهتان کمک کنند.
این بازیها خودشان هم نوعی تفریح هستند. البته زمانی شما از این بازیها بیشترین سود را میبرید که روزی چند دقیقه با آنها وقت بگذرانید، نه ساعتها.
3 - از دست مخالفتان استفاده کنید:
هر از گاهی یک روز را اختصاص دهید قبه استفاده از دست مخالفتان.
اگر چپ دست هستید با دست راستتان در را باز کنید. اگر راست دست هستید تلاش کنید کلید را با دست چپ بچرخانید. همین کار ساده باعث میشود مغزتان راههای جدیدی ایجاد کند. ساعتتان را در دست چپتان ببندید تا یادتان بماند که از دست مخالفتان استفاده کنید.
4 - شماره تلفن حفظ کنید:
این تلفنهای امروزی هم گاهی دردسرند. در حافظه این تلفنها میتوان همه اطلاعات را ذخیره کرد. برای همین است که این روزها دیگر کمتر کسی شماره تلفن حفظ میکند، در صورتی که حفظ کردن شماره تلفن تمرین خیلی خوبی برای مغز است. هر روز یک شماره جدید یاد بگیرید.
5 - برای مغزتان غذا بخورید:
مغز شما به چربیهای سالم نیاز دارد. روغنهای ماهی، خشکبار، دانههای مغذی و روغن زیتون جزو این دسته از غذاها هستند. شروع کنید به خو.ردن این گونه غذاها و از خوردن چربیهای اشباع شده پرهیز کنید.
6 - خرق عادت کنید:
اغلب مردم عادتهایشان را دوست دارند؛ وقتکشیها و تفریحاتی که میتوانند تا ساعتها ادامه پیدا کنند. اما هرگاه چیزی تبدیل به طبیعت دوم انسان شد، دیگر مغز برای انجام آن انرژی نمیسوزاند.
اگر واقعا میخواهید مغزتان جوان بماند با عادتهایتان مبارزه کنید. درها را با دست مخالفتان باز کنید و دسرتان را قبل از غذا بخورید. همه این کارها باعث میشود مغزتان از خواب بیدار شود و دوباره دنیا را ببیند.
7 - از راههای متفاوت بروید:
به هر کجا که میخواهید بروید از راهی متفاوت و جدید بروید.همین تغییر کوچک در عادتهای روزانه باعث می شود برای مغزتان در پیدا کردن مسیرها تمرین کند.
اگر همیشه از یک سمت خیابان راه میرفتید به سوی دیگر خیابان برودی. وارد مغازههای جدید شوید و خلاصه هر کاری که عادتهای روزانه شما را میشکند انجام دهید.
8 - یک مهارت جدید کسب کنید:
یادگیری یک مهارت کاری جدید باعث میشود بخشهای مختلفی از مغز شما به کار بیفتد. با این کار حافظهتان هم وارد بازی میشود، شما مهارتهای جدیدی یاد میگیرید که به شما کمک میکند کارهای متفاوت انجام دهید.
9 - فهرست تهیه کنید:
فهرستها خارقالعادهاند. تهیه فهرست به شما کمک میکند موارد مختلف را به هم پیوند دهید. فهرستی از همه مکانهایی که به آنها سفر کردهاید تهیه کنید. نام همه غذاهایی را که تاکنون چشیدهاید روی کاغذ بیاورید.
از بهترین هدایایی که تا به حال دریافت کردید فهرست تهیه کنید. هر روز یک فهرست تهیه کنید تا حافظهتان شخم بخورد اما حواستان هم جمع باشد که خیلی به این فهرستها تکیه نکنید. فهرست تهیه کنید اما بدون آن به خرید بروید. فهرست را وقتی استفاده کنید که هر چه به ذهنتان میرسید خریدید.
10 - یک تفریح جدید پیدا کنید:
یک مهارت جدید پیدا کنید که زیاد هم گران نباشد. عکاسی با دوربین دیجیتال، نقاشی، ساز زدن، روشی جدید در نوشتن میتوانند گزینههای خوبی برای شما باشند
از جمله اعدادی که روابطی جادوئی دارند و گاهی به فیثاغورسیان نسبت داده میشوند، اعداد تام، ناقص و زائد هستند.
اعداد تام به اعدادی گو یند که با مجموع مقسوم علیههای حقیقی خود برابرند.
اعداد ناقص به اعدادی که بزرگتر از مجموع مقسوم علیههای حقیقیشان هستند؛ و به اعدادی که از مجموع مقسوم علیههای حقیقی خود کوچکترند، اعداد زائد گفته میشود.
به عنوان مثال، عدد ۶ یک عدد تام است. زیرا مجموع مقسوم علیههای حقیقیاش برابر ۶ میباشد. (۶=۳+۲+۱)
عدد ۸ یک عدد ناقص است. زیرا مقسوم علیههای حقیقی آن عبارتند از: ۱،۲،۴. که مجموع آنها برابر ۷ است؛ و به همین ترتیب عدد ۱۲ عددی زائد میباشد. (۱۶=۶+۴+۳+۲+۱)
منبع:roshd.ir
روش تراختنبرگ برای ضرب اعداد مختلف در عدد یازده به صورت زیر است:
۱- آخرین عدد مضروب (عددی که در یازده ضرب میشود) را به عنوان رقم سمت راست جواب می نویسیم
۲- هر عدد متوالی از مضروب با همسایه طرف راست آن جمع میشود و در کنار رقم سمت راستی نوشته می شود
نکته : اگر حاصل جمع دو رقمی شد، یکان را نوشته و دهگان را به رقم بعدی اضافه می کنیم.
۳- اولین عدد مضروب، رقم سمت چپ جواب میشود.
مثال یک (سه رقمی ساده) :
۱۱×۶۳۳
روش حل :
۱- آخرین رقم ۶۳۳ اولین رقم سمت راست جواب است. یعنی عدد ۳
۲- هر رقم متوالی از عدد ۶۳۳ با همسایه طرف راست آن جمع میشود، یعنی ۳+۳ میشود که از آن عدد ۶ به دست میآید. این دستور را دوباره به همان شکل تکرار می کنیم، اینبار ۳+۶ که از آن عدد ۹ به دست میآید.
۳- اولین رقم ۶۳۳ یعنی ۶، اولین رقم سمت چپ جواب میشود.
بنابر این حاصلضرب ۶۳۳×۱۱ میشود: ۶۹۶۳ ------> 3 6(=3+3) 9(=3+6) 6
مثال دو (سه رقمی پیچیده) :
۱۱×742
روش حل :
۱- آخرین رقم 742 اولین رقم سمت راست جواب است. یعنی عدد 2
۲- هر رقم متوالی از عدد 742 با همسایه طرف راست آن جمع میشود، یعنی 2+4 میشود که از آن عدد ۶ به دست میآید. این دستور را دوباره به همان شکل تکرار می کنیم، اینبار 4+7 که از آن عدد 11 به دست میآید. چون حاصل جمع دو رقمی شد، عدد یکان که یک است را می نویسیم و عدد دهگان که 1 است را به رقم سمت چپ که اینجا 7 است اضافه می کنیم که عدد 8 می شود.
۳- اولین رقم 742 یعنی 7، اولین رقم سمت چپ جواب میشود.
بنابر این حاصلضرب 742×۱۱ میشود: 8162 ------> 2 6(=2+4) 11(=4+7) 8(=7+1)
مثال سه (چهار رقمی) :
۱۱×4261
روش حل :
۱- آخرین رقم 4261 اولین رقم سمت راست جواب است. یعنی عدد 1
۲- هر رقم متوالی از عدد 4261 با همسایه طرف راست آن جمع میشود، یعنی 1+6 میشود که از آن عدد 7 به دست میآید. این دستور را دوباره به همان شکل تکرار می کنیم، اینبار 2+۶ که از آن عدد 8 به دست میآید و بعد از آن هم 4+2 را جمع می کنیم که 6 می شود.
۳- اولین رقم 4261 یعنی 4، اولین رقم سمت چپ جواب میشود.
بنابر این حاصلضرب 4261×۱۱ میشود: 46871 ------> 1 7(=1+6) 8(=6+2) 6(=2+4) 4
روش تراختنبرگ برای ضرب اعداد مختلف در عدد دوازده به صورت زیر است:
۱- آخرین عدد مضروب (عددی که در دوازده ضرب میشود) را دو برابر می کنیم و به عنوان رقم سمت راست جواب می نویسیم
۲- هر عدد متوالی از مضروب دو برابر شده و با همسایه طرف راست آن جمع میشود و در کنار رقم سمت راستی نوشته می شود
نکته : اگر حاصل جمع دو رقمی شد، یکان را نوشته و دهگان را به رقم بعدی اضافه می کنیم.
۳- اولین عدد مضروب، رقم سمت چپ جواب میشود.
مثال :
12×۶۳۳
روش حل :
۱- آخرین رقم ۶۳۳ را دو برابر کرده و به عنوان اولین رقم سمت راست جواب می نویسیم. یعنی عدد 2×۳ که عدد 6 می شود
۲- هر رقم متوالی از عدد ۶۳۳ دوبرابر شده و با همسایه طرف راست آن جمع میشود، یعنی ۳+2×۳ میشود که از آن عدد 9 به دست میآید. این دستور را دوباره به همان شکل تکرار می کنیم، اینبار ۳+2×۶ که از آن عدد 15 به دست میآید. چون حاصل جمع دو رقمی شد، عدد یکان که 5 است را می نویسیم و عدد دهگان که 1 است را به رقم سمت چپ که اینجا 6 است اضافه می کنیم که عدد 7 می شود.
۳- اولین رقم ۶۳۳ یعنی ۶، اولین رقم سمت چپ جواب میشود. که البته در اینجا 6 با دهگان حاصل جمع قبلی خود جمع شده است و نوشته شده است.
بنابر این حاصلضرب ۶۳۳×12 میشود: 7596 ------> 6(=2×3) 9(=3+2×3) 15(=3+2×6) 7(=6+1)
در جنگ جهانی دوم فرماندهی نظامی در انگلستان از گروهی از دانشمندان دعوتی بعمل آورد تا در مسائل سوق الجیشی و تدابیر جنگی مربوط به دفاع زمینی و هوایی این کشور مطالعه نمایند. هدف آنها تعیین موثرترین روش استفاده از منابع محدود نظامی بود. از جمله مسائلی که مورد بررسی قرار گرفت مطالعه کارایی بمب افکنهای نوع جدید و روش استفاده از راداری بود که به تازگی اختراع شده بود. تشکیل این گروه علمی به عناون اولین فعالیت رسمی تحقیق در عملیات به شمار آمده است.
نام تحقیق در عملیات ظاهراْ بدین مناسبت داده شده بود که این گروه به پژوهش در عملیات(نظامی) پرداخته بود. این رشته جدید تصمیم گیری از آغاز به عنوان رشته ای شناخته شده است که اطلاعات علمی را از طریق تلاش گروهی متخصص در نظامهای مختلف به منظور تعیین بهترین نحوه استفاده از منابع محدود به کار می گیرد.
نتایج امیدبخشی که توسط گروههای تحقیق در عملیات در بریتانیا به دست آمده بود فرماندهی نظامی ایالات متحده را بر آن داشت تا فعالیتهای مشابهی را شروع نماید. از فعالیتهای موفقیت آمیز گروههای آمریکایی می توان مطالعه مسائل پیچیده تدارکات نظامی٫ ابداع الگوهای جدید پرواز٫ طرح مین گذاری دریا و استفاده موثر از وسائل الکترونیکی را نام برد.
پس از جنگ موفقیت گروههای نظامی توجه مدیران صنعتی را به خود جلب کرد. اینان در جستجوی راه حلهایی برای مسائل خود بودند که بر اثر وارد شدنتخصص شغلی در تشکیلات تجاری روز به روز حادتر می شدند. زیرا با وجود این واقعیت که اصولا مشاغل تخصصی برای خدمت به هدف کلی یک سازمان به وجود می آیند٫ اهداف فردی این مشاغل ممکن است همواره با مقاصد آن سازمان سازگار نباشند. این وضع منجر به مسائل تصمیم گیری پیچیده ای شده است که نهایتا سازمان تجاری را مجبور نموده تا درصدد استفاده از موثرترین روشهای تحقیق در عملیات برآیند.
اگرچه پیشگامی تحقیق در عملیات به عنوان یک نظام جدید با بریتانیای کبیر بود چیزی نگذشت که رهبری این رشته به سرعت در حال رشد را ایالات متحده به دست گرفت. اولین تکنیک ریاضی در این رشته که مورد قبول همه قرار گرفت و روش سیمپلکس برنامه ریزی خطی نامیده شد در سال ۱۹۴۷ توسط ریاضیدان آمریکایی جورج.ب. دانتسیک به وجود آمد. ار آن به بعد با تلاشها و همکاریهای علاقه مندان در موسسات علمی و صنعتی تکنیکها و کاربردهای جدیدی پدید آمده اند.
تاثیر تحقیق در عملیات را امروزه می توان در بسیاری از زمینه ها مشاهده نمود. صحت این امر تعداد زیاد موسسات علمی است که دوره هایی در سطوح تحصیلی مختلف در این رشته عرضه می نمایند. در حال حاضر بسیاری از شرکتهای مشاور در مدیریت سرگرم فعالیتهای تحقیق در عملیات می باشند. این فعالیتها از کاربردهای تجاری و نظامی فراتر رفته و اکنون بیمارستانها٫ موسسات مالی٫ کتابخانه ها٫ طراحی شهرها٫٫ دستگاههای ترابری و حتی بررسیهای کشف جنایت را در برگرفته اند. دوستان خوب و ریاضی خوانم! متن بالا گذری کوتاه بر تاریخچه تحقیق در عملیات یا همان برنامه ریزی خطی بود که این ترم در حال گذرانش هستم. وبلاگ لبخند ریاضی سعی بر آن دارد تا شما را با ریاضی و دنیای ریاضیات آشنا کند. برای پیشبرد ریاضی کشور دست خود را در دستان وبلاگ لبخند ریاضی بگذارید و بیایید برای شعار “ریاضی نزد ایرانیان است و بس” یا به طور مختصر “ریاضی نزد ایرانی” بکوشیم.